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선형머수학

3. 네 가지 기본 부분공간

hwijin97 2022. 4. 6. 22:00

m x n 행렬 A 의 4가지 부분공간, 2개의 Rm 부분공간, 2개의 Rn 부분공간


- 열공간 C(A)는 행렬 A의 모든 열의 일차결합을 포함한다.
- 행공간 C(AT) 는 행렬 A의 모든 행의 일차결합을 포함한다.
- 영공간 N(A)Ax=0의 모든 해를 포함한다.
- 좌영공간 N(AT)ATy=0 의 모든 해를 포함한다.

 

 

EX) A=[1236]=uvT 에서, m=2, n=2 이다.

  1. 열공간 C(A)u=[13] 를 지나는 직선이고, 행렬 A 의 2열은 이 직선위에 있다.
  2. 행공간 C(AT)v=[12] 를 지나는 직선이고,  행렬 A 의 2행은 이 직선위에 있다.
  3. 영공간 N(A)x=[21] 를 지나는 직선이다.
  4. 좌영공간 N(AT)y=[31] 을 지나는 직선이다.

 

EX) 행렬 B=[122366] 에서, m=2, n=3 이다.

 

행렬 A 와 열공간과 영공간은 동일하고, 행공간과 좌영공간은 다르다.

행공간 C(BT)v=[122] 를 지나는 직선이고,

좌영공간 N(BT)y1=[210]y2=[201] 으로 구성되는 평면이다.

 

여기서 그람-슈미트를 사용하여 서로수직인 정규기저벡터 v1,v2,v3 를 구할 수 있다. 행공간은 v1 을 지나는 직선, 좌영공간은 v2,v3 으로 이루어진 평면이다. 이들은 서로 수직이고, 크기는 1이다.

셈 법칙 : r 개의 독립인 일차방정식으로 이루어진 Ax=0 에는 독립인 해가 nr 개 존재한다.

 

EX) 4개의 미지수를 가진 일차 방정식 5개를 표현하는 Ax=b 에서  5 x 4 행렬 A 은 그래프에서 5 x 4 결합행렬이다.

각 변의 시작 꼭지점과 끝 꼭지점을 1 과 -1 으로 표현한다.

 

A=[11001010011001010011]

위 행렬은 변이 5개이고, 꼭지점이 4개의 정보를 나타낸다. 


영공간 N(A)b=0 일때, x=(1111) 을 지나는 모든 직선이다.

  • 행공간 차원 : r=3
  • 열공간 차원 : r=3
  • 영공간 차원 : nr=1
  • 좌영공간 차원 : mr=2

 

열공간의 기저는 [1100],[10110],[01101]  이고, 나머지 하나는 다른 열에 종속이다.

 


행공간 C(A) 은 처음 3개의 행을 기저로 갖는다. 이 3개의 행이 나타내는 도형은 닫힌 곡선을 형성하고, 종속인 행들이 나타내는 도형은 를 나타낸다.


좌영공간 N(AT)ATy=0 의 해로 y=[11100],[00111] 이다. 

 

방정식 ATy=0 은 그래프의 5개의 변 위에 흐르는 전류 y1, y2, y3, y4, y5 를 제공하고, 닫힌 곡선의 흐름은 키르히호프의 전류법칙을 따른다.

 

 

그래프 정리

m 개의 변과 n 개의 꼭지점으로 이루어진 연결 그래프
- N(A) : 상수 벡터 (ccc) 는 1차원 공간이다.
- C(AT) : r 개의 변은 일차 독립의 행을 제공한다. r=n1
- C(A) 전압법칙 : 모든 닫힌 곡선에서 Ax 요소의 합은 0 이다.
- N(AT) 전류법칙 : ATy=0 은 닫힌곡선의 전류를 이용해 해를 구할 수 있다.

 


ABA+B 의 랭크

 

행렬을 곱하거나 더할때 랭크는 증가하지 않고, 감소하지않거나 감소한다.

1. rankABrankA,rankABrankB
2. rankA+BrankA+rankB
3. rankATA=rankAAT=rankA=rankAT
4. m x r 행렬 Ar x n 행렬 B의 랭크가 모두 r 이면 AB 랭크도 r 이다.

 

1. 

행렬 AB 의 열은 A 열의 일차결합이고, 행은 B 의 일차결합이다.

따라서, C(AB)C(A) 에 포함되고, C((AB)T)C(BT) 에 포함된다.

행 랭크와 열 랭크가 동일하기 때문에 행렬 곱을 통해서 랭크를 증가시킬 수 없다.

 

2. 

A+B 의 각 열은 A 의 열과 B 열의 합이다.

rank(A+B)rank(A)+rank(B) 는 항상 참이고, 등호는 항상 참이지 않다.

 

3. 

AATA 에는 n 개의 열이 있고, 영공간이 동일하다. Ax=0 이면, ATAx=0 이고, ATAx=0 이면, xTATAx=0 이고, ||Ax||2=0 이고, Ax=0 이기 때문에.

두 행렬의 영공간이 동일하기 때문에, nr 이 동일하고, 모두 r 의 랭크를 가진다.

rank(AT)rank(ATA)=rank(A)

 

4. 

A, B 의 랭크가 r 이면, rank(ATA)=rank(BTB)=r) 이다. ATA, BBTr x r 이고, 랭크가 r 이기 때문에 가역행렬이다. 

행렬곱 ATABBT 에서 r=rank(ATABBT)rank(AB) 이고, rank(AB)rank(A)=r 이므로, 행렬 AB 의 랭크는 r 이다. 하지만 BA 의 랭크는 r 이 아닐수도 있다.

 


 

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