3. 네 가지 기본 부분공간

$m$ x $n$ 행렬 $A$ 의 4가지 부분공간, 2개의 $R^m$ 부분공간, 2개의 $R^n$ 부분공간

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- 열공간 $C(A)$는 행렬 $A$의 모든 열의 일차결합을 포함한다.
- 행공간 $C(A^T)$ 는 행렬 $A$의 모든 행의 일차결합을 포함한다.
- 영공간 $N(A)$ 는 $Ax=0$의 모든 해를 포함한다.
- 좌영공간 $N(A^T)$ 는 $A^Ty=0$ 의 모든 해를 포함한다.

 

 

EX) $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{bmatrix} = uv^T $ 에서, $m=2$, $n=2$ 이다.

1. 열공간 $C(A)$는 $ u = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} $ 를 지나는 직선이고, 행렬 $A$ 의 2열은 이 직선위에 있다.
2. 행공간 $C(A^T)$ 는 $ v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 를 지나는 직선이고,  행렬 $A$ 의 2행은 이 직선위에 있다.
3. 영공간 $N(A)$ 는 $ x = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} $ 를 지나는 직선이다.
4. 좌영공간 $N(A^T)$ 는 $ y = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} $ 을 지나는 직선이다.

 

EX) 행렬 $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 3 & -6 & -6 \\\end{bmatrix}$ 에서, $m=2$, $n=3$ 이다.

 

행렬 $A$ 와 열공간과 영공간은 동일하고, 행공간과 좌영공간은 다르다.

행공간 $C(B^T)$ 는 $ v = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix} $ 를 지나는 직선이고,

좌영공간 $N(B^T)$ 는 $ y_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ 과 $ y_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ 으로 구성되는 평면이다.

 

여기서 그람-슈미트를 사용하여 서로수직인 정규기저벡터 $v_1, v_2, v_3$ 를 구할 수 있다. 행공간은 $v_1$ 을 지나는 직선, 좌영공간은 $v_2, v_3$ 으로 이루어진 평면이다. 이들은 서로 수직이고, 크기는 1이다.

셈 법칙 : $r$ 개의 독립인 일차방정식으로 이루어진 $Ax=0$ 에는 독립인 해가 $n-r$ 개 존재한다.

 

EX) 4개의 미지수를 가진 일차 방정식 5개를 표현하는 $Ax=b$ 에서  5 x 4 행렬 $A$ 은 그래프에서 5 x 4 결합행렬이다.

각 변의 시작 꼭지점과 끝 꼭지점을 1 과 -1 으로 표현한다.

 

$$ A = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & -1 &0  & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix} $$

위 행렬은 변이 5개이고, 꼭지점이 4개의 정보를 나타낸다. 

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영공간 $N(A)$ 은 $b=0$ 일때, $ x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $ 을 지나는 모든 직선이다.

• 행공간 차원 : $r=3$
• 열공간 차원 : $r=3$
• 영공간 차원 : $n-r=1$
• 좌영공간 차원 : $m-r=2$

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열공간의 기저는 $ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} $  이고, 나머지 하나는 다른 열에 종속이다.

 

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행공간 $C(A)$ 은 처음 3개의 행을 기저로 갖는다. 이 3개의 행이 나타내는 도형은 닫힌 곡선을 형성하고, 종속인 행들이 나타내는 도형은 트리를 나타낸다.

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좌영공간 $N(A^T)$ 은 $A^Ty=0$ 의 해로 $ y = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 이다. 

 

방정식 $A^Ty=0 $ 은 그래프의 5개의 변 위에 흐르는 전류 $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$, $y_5$ 를 제공하고, 닫힌 곡선의 흐름은 키르히호프의 전류법칙을 따른다.

 

 

그래프 정리

$m$ 개의 변과 $n$ 개의 꼭지점으로 이루어진 연결 그래프
- $N(A)$ : 상수 벡터 $ \begin{pmatrix} c & c & \cdots & c \\ \end{pmatrix} $ 는 1차원 공간이다.
- $C(A^T)$ : $r$ 개의 변은 일차 독립의 행을 제공한다. $r = n-1$
- $C(A)$ 전압법칙 : 모든 닫힌 곡선에서 $Ax$ 요소의 합은 0 이다.
- $N(A^T)$ 전류법칙 : $A^Ty= 0$ 은 닫힌곡선의 전류를 이용해 해를 구할 수 있다.

 

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$AB$ 와 $A+B$ 의 랭크

 

행렬을 곱하거나 더할때 랭크는 증가하지 않고, 감소하지않거나 감소한다.

1. $rankAB \leq rank A, rankAB \leq rankB $
2. $rank A+B \leq rank A+rankB$
3. $rankA^TA = rankAA^T = rankA = rankA^T$
4. $m$ x $r$ 행렬 $A$ 와 $r$ x $n$ 행렬 $B$의 랭크가 모두 $r$ 이면 $AB$ 랭크도 $r$ 이다.

 

1. 

행렬 $AB$ 의 열은 $A$ 열의 일차결합이고, 행은 $B$ 의 일차결합이다.

따라서, $C(AB)$ 는 $C(A)$ 에 포함되고, $C((AB)^T)$ 는 $C(B^T)$ 에 포함된다.

행 랭크와 열 랭크가 동일하기 때문에 행렬 곱을 통해서 랭크를 증가시킬 수 없다.

 

2. 

$A+B$ 의 각 열은 $A$ 의 열과 $B$ 열의 합이다.

$rank(A+B) \leq rank(A) + rank(B)$ 는 항상 참이고, 등호는 항상 참이지 않다.

 

3. 

$A$ 와 $A^TA$ 에는 $n$ 개의 열이 있고, 영공간이 동일하다. $Ax=0$ 이면, $A^TAx=0$ 이고, $A^TAx=0$ 이면, $x^TA^TAx=0$ 이고, $||Ax||^2=0$ 이고, $Ax=0$ 이기 때문에.

두 행렬의 영공간이 동일하기 때문에, $n-r$ 이 동일하고, 모두 $r$ 의 랭크를 가진다.

$rank(A^T) \leq rank(A^TA) = rank(A) $

 

4. 

$A$, $B$ 의 랭크가 $r$ 이면, $rank(A^TA) = rank(B^TB) = r )$ 이다. $A^TA$, $BB^T$ 는 $r$ x $r$ 이고, 랭크가 $r$ 이기 때문에 가역행렬이다. 

행렬곱 $A^TABB^T$ 에서 $r = rank(A^TABB^T) \leq rank(AB) $ 이고, $rank(AB) \leq rank(A) = r $ 이므로, 행렬 $AB$ 의 랭크는 $r$ 이다. 하지만 $BA$ 의 랭크는 $r$ 이 아닐수도 있다.

 

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