2. 행렬 곱셈 $AB$

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행렬 $AB$를 구하는 방식에는 내적 방식과 외적 방식이 있다.

 

내적은 $A$ 의 행과 $B$의 열의 곱의 합 형태이고,

외적은 $A$ 의 열과 $B$의 행을 곱하는 방법이다.

외적  $ uv^T = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 & 12 \\ 6 & 8 & 12 \\3 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} = $ 랭크1인 행렬

$uv^T$ 의 모든 열은 $u$ 의 배수이고, 모든 행은 $v^T$ 의 배수이다.

$uv^T$ 의 랭크는 1이고, 행렬 $A$ 의 행공간은 행렬 $A^T$의 열공간이다.

 

행 랭크 = 열 랭크, r 개의 일차독립 열 <=> r 개의 일차독립 행

 

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$AB = $ ( 랭크 1 행렬의 합)

행렬의 열-행 곱셈
$ AB = \begin{bmatrix} | &  & | \\ a_1 & \cdots & a_n \\ | &  & | \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} - & b_1^* & - \\  & \vdots &  \\ - & b_n^* & - \\ \end{bmatrix} = a_1b_1^* + a_2b_2^* + \cdots + a_nb_n^* $

 

$AB = $ ( $m$ x $n$ ) ( $n$ x $p$ ) 라고 할때, 곱셈연산수는 $mnp$ 번의 곱셈 연산이 필요하다.

이 값은 내적을 이용할때도 동일하다.

• 행 곱하기 열 : $mp$ 번의 내적, 매번 $n$ 번의 곱셈, $mnp$
• 열 곱하기 행 : $n$ 번의 외적, 매번 $mp$ 번의 곱셈, $mnp$

행렬 곱셈 $C=AB$ 는 내적, 외적의 접근식이 모두 같다.

 

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열과 행의 곱셈에 대한 이해

 

내적과 동일함에도 외적이 필요한 이유는, 행렬 $A$ 에 대해 중요한 부분은 가장 큰 부분이기 때문이다. 이는 랭크 1행렬 $uv^T$ 이다.

$A$ 를 분해하고, 부분을 살펴보는것.

선형 대수학에서 중요한 주제는 위와 같다.

행렬을 분해하는데, $CR$ 과 고윳값, 특이값들이 중요한 정보를 제공한다.

$A=LU$    $A=QR$    $S=Q \Lambda Q^T$    $A=X \Lambda X^{-1}    A = U\Sigma V^T$

위와 같은 행렬 분해가 존재한다.

1. $A=LU$ 는 소거법 에서 얻는다. $L$ 은 하삼각행렬, $U$ 는 상삼각행렬이다.
2. $A=QR$ 은 그람-슈미트를 통해 열 $a_1 \cdots a_n$ 을 직교화하여 얻는다. $QQ^T=I$ 이고, $R$은 상삼각행렬이다.
3. $S=Q\Lambda Q^T$ 는 대칭행렬 $S=S^T$의 고유값에서 얻는다. $\Lambda$ 의 대각성분은 고유값이고, $Q$의 열은 정규직교인 고유벡터이다.
4. $A$ = $X\Lambda X^{-1}$ 로 대각화한다. $\Lambda$ 의 대각성분은 고유값이고, $X$의 열은 $A$의 고유벡터이다.
5. $A = U\Sigma X^{-1}$ 는 $A$의 특이값 분해이다. $\Sigma $ 는 특이값을 가지고, $U,V$는 정규직교인 특이벡터가 있다.

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$S = Q\Lambda Q^T$

대칭행렬 $S$    $S^T = S$    모든 $s_{ij} = s_{ji} $
직교행렬 $Q$   $Q^T=Q^{-1}$ 모든 $q_i \cdot q_j = \begin{cases} 0 & \text{ if } i \neq j \\ 1 & \text{ if } i = j \end{cases} $

 

실수 대칭행렬 $S$ 에는 $n$개의 정규직교 고유벡터와 고유값을 가진다. 고유벡터를 행렬 $S$ 에 곱해도, 그 방향을 변하지 않고 고유값 만큼 크기만 변화한다.

고유벡터 $q$ 와 고유값 $\lambda$    $Sq = \lambda S $

$ SQ = S\begin{bmatrix} q_1 & \cdots & q_n \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_1 q_1 & \cdots & \lambda_n q_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_1 & \cdots & q_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{bmatrix}= QA $

$Q^{-1} = Q^T$ 이므로 $S=Q\Lambda Q^T= $ (대칭행렬) 이고, 각 고유값 $\lambda_k$ 와 고유벡터 $q_k$ 는 랭크가 1인 행렬 $\lambda_k q_k q_k^T$ 를 만든다.

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연습문제

 

https://jamboard.google.com/d/1FjrkluV5XwDs7DdI19Dc4WQB7J-Ou8Cw6QZA7ZBU0U0

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